私は現在Rしか使えないので、RでのProphetのインストール方法を紹介します。
といっても複雑なことはする必要はありません。

なお、Pythonでのインストール方法はdatalove’s diary Facebook の機械学習 ライブラリをためす ~ インストール編 / Trying time series analysis with Facebook machine learning library Prophet – How to installで説明されているのを見つけました。
早くPythonも勉強したいものです。

【Linuxの場合】

Linuxの場合は非常にシンプルです。

#R
install.packages("prophet")

ただ私の場合はRのバージョンが古くて(3.0.x)入らなかったので、バージョンを3.3.3に上げる必要がありました。

#debian terminal
sudo apt-get install r-base

以上です。
特筆すべきこともありません。

【Windowsの場合】

Windowsの場合はRtoolsというソフトウェアを別途インストールする必要があります。
これはProphetが依存しているStanというベイズ統計のモデリングをするライブラリを入れるために必要なようです。

下記のリンクから自分のRのバージョンに合ったRtoolsのインストーラをダウンロードしてください。
https://cran.r-project.org/bin/windows/Rtools/

インストールは基本的に『次へ』で良いですが、唯一PATHの設定のチェックボックスを入れろという注意がなされていますので、気をつけてください。

Rtoolsのインストールが済めばStanとProphetをインストールできるようになります。

#R
#stanのインストール、公式サイトで『厳密にこう書け』と言われた
install.packages("rstan", repos = "https://cloud.r-project.org/",dependencies=TRUE)
install.packages("prophet")

これでインストールは完了しましたね？

【起動】

Prophetを起動しましょう。

#R
library(prophet)

Prophetライブラリの起動は僕のDebian(lenovo X240)はわりとすぐに終わるのですが、会社のWin10(東芝の何か)はかな〜り時間(3分くらい)かかりました。
もしかしたらWindowsのRGuiでは起動に時間がかかるかもしれないので、焦らずにゆっくりと待ちましょう。

【公式インストールガイド】

Installation | Prophet